QtでSQLデータベースを使用するときは、通常はデータベースに直接リンクするのではなく、データベースドライバプラグインを通じて行います。
$QTDIR/plugins/sqldrivers 以下に各データベース用のプラグイン( この場合は qsqlmysql4.dll かな)が必要です。
Qtがバイナリパッケージが自前でのビルドかは分かりませんが、おそらくこのプラグインはインストールされていないと思います。
http://qt-project.org/doc/qt-4.8/sql-driver.html#how-to-build-the-mysql-driver-for-mingw-users
に mingw 用の MySql ドライバのビルド方法がありますので、そちらを参考にドライバのビルドとインストールを試してみてください。