hola amigo,pues te dire yop tube ese problema y la solucion es copiar estas librerias o dll's a donde tienes instalado el qt osea por ejemplo:
C:\Qt\Qt5.10.1\5.10.1\mingw53_32\bin
copia estas librerias de Posatgresql:
libeay32.dll
libiconv-2.dll
libintl-8.dll
libpq.dll
ssleay32.dll
estas librerías las podrás encontrar en esta dirección
C:\Program Files (x86)\PostgreSQL\10\bin
en mi caso es donde esta instalado el postgresql.
Nota:
si estas utilizando las ultimas versiones de postgre, o sea la 10 hasta la 9.4 si es que no me equivoco, entonces la dll, libiconv-2.dll tambien deberás de copiarla para que te funcione correctamente cualquier conexión, para versiones inferiores a esas solo deberas copiar 4 librerias de la lista menos la que te mencione, ahhhh me olvidaba en versiones anteriores la dll, libintl-8.dll, no tiene ese nombre la encontraras con el nombre de intl.dll, bueno espero te sirva, un saludo, suerte....